Равенства и неравенства

Что такое неравенство в математике?

Неравенство — это математическое выражение, в котором указывается, что одна величина больше или меньше другой.

Неравенство обозначается специальными символами:

• Больше: символ >, например: 5 > 3 (пять больше трех)
• Больше или равно: символ ≥, например: 4 ≥ 4 (четыре больше или равно четырем)
• Меньше: символ <, например: 2 < 6 (два меньше шести)
• Меньше или равно: символ ≤, например: 3 ≤ 3 (три меньше или равно трех)

Неравенство может быть использовано для сравнения чисел или выражений.

Например, в неравенстве 7 + 2 < 10 + 1, мы можем сравнить результат сложения чисел на обоих сторонах. В данном случае получаем: 9 < 11, что верно.

Также, неравенство может быть использовано для представления условий и ограничений.

Например, для определенной задачи, приведем ограничение: x > 5, где x может быть любым числом, большим пяти.

Неравенство может быть использовано для построения числовых неравенств:

Тип неравенства	Примеры	Значение
2 > 1	Два больше, чем один	Верно
3 < 5	Три меньше, чем пять	Верно
4 ≥ 4	Четыре больше или равно четырем	Верно
6 ≤ 3	Шесть меньше или равно трех	Неверно

Таким образом, неравенства используются для установления отношений между числами и ограничений в математике.

ЧЕТВЁРТЫЙ ЭТАП РАВЕНСТВА С ЦИФРАМИ И КОЛИЧЕСТВАМИ

Технология показа.

Возьмите карточку с цифрой 12, положите её на пол, затем положите рядом с ней знак «больше», а затем карточку-количество 10, проговаривая при этом: «Двенадцать больше десяти».

Неравенства (равенства) могут выглядеть следующим образом:

Каждый (равенств)  день состоит из трёх занятий, а каждое занятие — из трёх неравенств количествами и цифрами. Общее количество ежедневных равенств будет равно девяти. При этом Вы одновременно продолжаете изучать цифры с помощью двух наборов по пять карточек в каждом, тоже три раза в день.

Проверка.

Можно предоставлять ребёнку возможность выбора карточек «больше», «меньше», «равно» или составлять пример таким образом, чтобы малыш сам мог его закончить. Например, кладём карточку-количество 7, затем знак «больше» и предоставляем ребёнку возможность закончить пример, то есть выбрать карточку-количество, например, 9 или карточку-цифру, например, 5.

После того, как малыш понял связь между количествами и цифрами, можно приступать к решению равенств, используя карточки как с цифрами, так и с количествами.

Равенства с цифрами и количествами.

ВАЖНО!

Если Вы внимательно посмотрите примерную схему обучения математике, (стр. 20) то увидите, что конца занятиям нет. Придумывайте свои примеры для развития устного счёта ребёнка, соотносите количества с реальными предметами (орехи, ложки для гостей, кусочки порезанного банана, хлеба и т.д.) — словом, дерзайте, творите, выдумывайте, пробуйте! И у Вас всё получится!

Продолжение следующих этапов обучения вы можете увидеть в темах :

Применение равенств и неравенств в повседневной жизни

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с равенствами и неравенствами при решении различных задач. Вот несколько примеров:

1. При покупке продуктов в магазине мы можем столкнуться с равенством цен. Например, если одно яблоко стоит 10 рублей, а у нас есть 30 рублей, мы можем купить 3 яблока. В этом случае мы можем записать равенство: 10 * 3 = 30.
2. При сравнении возраста людей, мы можем использовать неравенства. Например, если человеку А 25 лет, а человеку В 30 лет, мы можем записать неравенство: А
3. При вычислении площади прямоугольника мы используем равенство. Например, если одна сторона прямоугольника равна 5 сантиметров, а другая сторона равна 8 сантиметров, мы можем вычислить площадь прямоугольника, записав равенство: 5 * 8 = 40.
4. При решении математических задач мы часто сталкиваемся с неравенствами. Например, при решении уравнения 2x + 3

Как видно из примеров, равенства и неравенства являются важной составляющей нашей повседневной жизни. Они помогают нам решать различные задачи и делать различные сравнения

Понимание равенств и неравенств важно не только в математике, но и во многих других областях нашей жизни.

На уроках математики в 3 классе дети учатся различать и применять понятия равенства и неравенства.

Равенство означает, что два числа или выражения имеют одинаковое значение. Оно обозначается знаком «=».

Равенство можно наглядно представить с помощью весов – если на одной чаше весов лежит 4 яблока, а на другой – 2 яблока и 2 груши, то эти два выражения равны: 4 = 2 + 2.

Неравенство означает, что два числа или выражения не равны между собой. Оно обозначается знаками «» (больше), «=» (больше либо равно).

Неравенство тоже можно показать на примере весов – если на одной чаше весов лежит 5 яблок, а на другой – 2 груши, то эти два выражения неравны: 5 > 2.

Определение равенства и неравенства позволяет детям лучше понять и анализировать числовые соотношения. Они могут применять эти понятия при решении простых математических задач и составлении равенств и неравенств.

Таким образом, понятия равенства и неравенства являются основой для развития математического мышления у учащихся 3 класса.

Способы решения неравенств

Для решения неравенств могут применяться различные методы, которые зависят от их типа и условий, описанных в неравенстве.

Одним из самых простых способов решения неравенств является графический метод. При этом неравенство представляется на координатной плоскости в виде графика, и решением является область на плоскости, где график неравенства находится выше или ниже оси X, в зависимости от условия неравенства.

Еще одним распространенным способом решения неравенств является алгебраический метод. Этот метод основан на применении различных алгебраических операций и свойств неравенств.

При решении неравенств с одной переменной алгебраический метод заключается в применении следующих правил:

Тип неравенства	Условие	Примеры решения
Неравенство с положительным коэффициентом	a > b	a — b > 0
Неравенство с отрицательным коэффициентом	a	a — b
Неравенство с умножением на положительное число	a * b > c	a > c / b
Неравенство с умножением на отрицательное число	a * b	a

Это лишь некоторые из возможных способов решения неравенств. В каждом конкретном случае необходимо анализировать условия неравенства и выбирать наиболее подходящий метод для его решения.

Способы решения равенств

1. Подстановка значения	2. Использование обратных операций
3. Использование свойств операций	4. Графический метод

1. Подстановка значения

Способ подстановки значения состоит в замене переменной в равенстве известным числом и проверке, выполняется ли условие равенства. Если условие выполняется, то подстановка верна и найдено искомое значение переменной.

2. Использование обратных операций

Данный способ основывается на использовании обратных операций к операциям, которые были применены в исходном равенстве. Например, для решения равенства x + 5 = 10 мы можем вычесть 5 с обеих сторон равенства и получить x = 5.

3. Использование свойств операций

Свойства операций позволяют упростить равенства и свести их к более простым формам. Например, свойство коммутативности сложения позволяет изменять порядок слагаемых: a + b = b + a. С помощью свойств можно упростить равенство и найти его решение.

4. Графический метод

Графический метод позволяет наглядно представить равенство на координатной плоскости и найти его решение в виде точки пересечения графика функции с осью или с другим графиком. Данный метод особенно полезен при решении систем равенств.

Последовательности

Последовательности — это те же самые равенства. Опыт работы родителей с этой темой показал, что последовательности детям очень интересны.

Последовательности на плюс — это возрастающие последовательности. Последовательности на минус — убывающие.

Чем разнообразнее будут последовательности, тем они интереснее малышу.

Приведём несколько примеров последовательностей:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Технология показа последовательностей может быть такой. Вы подготовили три последовательности на плюс.

Объявляете малышу тему урока, на полу выкладываете одну за другой карточки первой последовательности, озвучивая их.

Перемещаетесь с ребёнком в другой угол комнаты и точно так же выкладываете вторую последовательность.

В третьем углу комнаты Вы выкладываете третью последовательность, при этом озвучивая её.

Выкладывать последовательности можно и друг под другом, оставляя между ними промежутки.

Старайтесь всегда идти вперёд, двигаясь от простого к сложному. Варьируйте занятия: иногда произнося вслух то, что Вы показываете, а иногда показывайте карточки молча. В любом случае ребёнок видит развёрнутую перед ним последовательность.

Для каждой последовательности нужно использовать не менее шести карточек, иногда больше, для того чтобы ребёнку легче было определить сам принцип последовательности.

Как только Вы увидели блеск в глазах ребёнка, попробуйте добавить к трём последовательностям пример (т.е. проверьте его знания).

Пример показываете так: сначала выкладываете всю последовательность, как Вы обычно это делаете, а в конце поднимаете две карточки (одна карточка — та, которая идёт следующей в последовательности, а другая — случайная) и спрашиваете ребёнка: «Какая следующая?»

На первых порах карточки в последовательностях выкладывайте друг за другом, затем формы выкладывания можно менять: кладите карточки по кругу, по периметру комнаты и т.д.

Когда будет получаться всё лучше и лучше, не бойтесь использовать в последовательностях умножение и деление.

Примеры последовательностей:

4; 6; 8; 10; 12; 14 — в данной последовательности каждое следующее число увеличивается на 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 — в данной последовательности чередуется умножение и сложение (х 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 — в данной последовательности каждое следующее число увеличивается в 2 раза;

22; 18; 14; 10; 6; 2 — в данной последовательности каждое следующее число уменьшается на 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 — в данной последовательности чередуется деление и вычитание (: 2; — 2);

Знаки «больше», «меньше»

Эти карточки находятся в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).

Уроки знакомства малыша с понятиями «больше-меньше» будут очень короткими. Всё, что Вам нужно, — это показать три карточки.

Технология показа

Садитесь на пол и выкладываете каждую карточку перед ребёнком так, чтобы он мог видеть сразу все три карточки. Каждую карточку называете.

Озвучить можно так: «шесть больше трёх» или «шесть больше, чем три».

На каждом занятии Вы показываете ребёнку по три разных варианта неравенств с

карточками «больше» — «меньше». неравенств в день.

Таким образом, Вы демонстрируете девять разных

Как и прежде, Вы показываете каждое неравенство только один раз.

Через несколько дней к трём показам можно добавить пример. Это уже проверка, и проводится она так:

Положите на пол приготовленные заранее карточки, например, карточку с количеством «68» и карточку со знаком «больше». Спросите малыша: «Шестьдесят восемь больше какого числа?» или «Шестьдесят восемь больше пятидесяти или девяносто пяти?». Предложите ребёнку выбрать из двух карточек нужную. Верно указанную малышом карточку, Вы (или он сам) кладёте после знака «больше».

Можно положить перед ребёнком две карточки с количествами и дать ему возможность выбрать знак, который подходит, то есть > или <.

Осваиваем основы математики: равенства и неравенства в 1 классе

Переход ребенка в первый класс — это значительный этап в его жизни и в жизни его родителей. Одной из ключевых задач начального образования является знакомство учащихся с основами математики, в том числе с понятиями равенства и неравенства

Эти концепции лежат в основе многих математических операций и поэтому важно, чтобы ребенок понимал их с самого начала обучения. В данной статье мы рассмотрим, каким образом можно объяснить первокласснику, что такое равенства и неравенства, используя простые и наглядные примеры

Что такое равенство?

Равенство — это отношение между двумя выражениями, показывающее, что они имеют одинаковое значение. Например, 3 + 2 = 5 — это равенство, потому что сумма чисел 3 и 2 равна 5. Чтобы объяснить это понятие ребенку, можно использовать простые и понятные ему предметы: например, пять одинаковых фруктов или пять игрушечных машинок. Демонстрируя, что количество предметов одинаково с обеих сторон, ребенок научится визуально определять равенство.

Что такое неравенство?

Неравенства — это отношения, которые показывают, что одно значение больше или меньше другого. В первом классе дети учатся распознавать простейшие неравенства, такие как 4 > 3 (четыре больше трех) или 2

Использование наглядных примеров

Наглядные примеры — это один из лучших методов обучения молодых учеников. Игры с использованием предметов, которые ребенок может трогать и с которыми он может взаимодействовать, позволяют ему лучше усваивать новую информацию. Создавая ситуации, в которых ребенок может самостоятельно установить соответствие между количеством предметов и числами, мы способствуем развитию его логического мышления и умения делать выводы.

Игры и упражнения для закрепления знаний

• Игра с весами: используя детские весы, ребенок может сравнивать вес различных предметов, что поможет ему понять концепцию «больше-меньше».
• Сортировка предметов по размеру: попросите ребенка упорядочить игрушки по размеру от меньшего к большему или наоборот.
• Использование карточек с числами: показывая ребенку карточки с разными числами, можно задавать вопросы о том, какое число больше или меньше.

Практические занятия не только увлекательны для ребенка, но и способствуют лучшему усвоению материала. Совместные игры укрепляют связь между родителем и ребенком, а также позволяют родителю наблюдать за прогрессом своего ребенка в освоении новых знаний.

Введение в концепции равенства и неравенства в первом классе является фундаментальным шагом в обучении математике. Подходя к этому процессу творчески и с пониманием особенностей восприятия мира у детей, родители могут существенно облегчить и ускорить процесс обучения. Используя игры и наглядные примеры, можно не только объяснить ребенку, что такое равенства и неравенства, но и заложить основу для дальнейшего успешного изучения математики.

Примеры использования равенств и неравенств в задачах

1. Задача о равных группах

В классе учатся 30 учеников. Учитель хочет разделить их на две равные группы для выполнения задания. Какое равенство можно использовать для решения этой задачи?

Ответ: 30 ÷ 2 = 15. Каждая группа будет состоять из 15 учеников.

Задача о неравных группах

В парке было 25 птиц. Какое неравенство можно использовать, чтобы показать, что количество птиц в одной группе больше, чем в другой?

Ответ: 25 > 0.5 * 25 (или 25 > 12.5). Количество птиц в одной группе больше, чем половина общего количества птиц.

Задача о сравнении чисел

У Маши было 10 конфет, а у Пети — в 3 раза больше. Какое неравенство можно использовать для сравнения количества конфет у Маши и Пети?

Ответ: 10

Задача на равный периметр

У Максима есть две стороны ранца: одна длиной 30 см, а вторая — неизвестной длины. Какое равенство можно использовать, чтобы найти длину второй стороны, если периметр ранца должен быть равным 100 см?

Ответ: 30 + Х = 100. Длина второй стороны равна 70 см.

Все эти примеры демонстрируют практическое использование равенств и неравенств в решении различных задач. Понимание этих концепций позволяет решать математические проблемы и анализировать различные ситуации.

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 48,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 1

Страница 115,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 1

Страница 32,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 20. ПР 1. Вариант 1,
Волкова, Проверочные работы

Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 12. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 27. Урок 14,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 42. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 47. Урок 24,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 73. Урок 37,
Петерсон, Учебник, часть 3

2 класс

Страница 82,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 77,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 28,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 82,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 54. ПР 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 58. ПР 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 66. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 4. Урок 1,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 99. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 8,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 9,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 63,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 38,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 9. Тест. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 68. Урок 23,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 74. Урок 26,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 30. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 68. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

4 класс

Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 21,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 69,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 16. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 21. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 23. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 58. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 1

5 класс

Задание 626,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 120,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 121,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 122,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Публикация «Занятие по математике, Тема: Равенство и неравенство групп предметов, Геометрические фигуры,» размещена в разделах

• Геометрические фигуры и формы
• Геометрические фигуры. Конспекты занятий по математике
• Конспекты занятий. Все конспекты
• Математика. Конспекты занятий по ФЭМП
• Математика. Математические представления, ФЭМП
• Темочки
• Конкурс для воспитателей и педагогов «Лучший конспект занятия (НОД)» апрель 2015

— раздаточный: альбомный лист, на котором изображены три улитки вверху, три лягушонка внизу, карандаши, набор геометрических фигур зеленого цвета (овал, два маленьких круга, один большой треугольник, два маленьких треугольника).

Ход занятия.

1. Разминка.

-Дети сегодня к нам в гости пришел ёжик. (Воспитатель показывает игрушку). А давайте мы поиграем с ним?

Игра «Колючий ёжик».

-Представьте, что каждый из Вас маленький ёжик. (Дети делают движения относительно к тексту.)

Ходит – бродит вдоль дорожек (Ходьба друг за другом)

Весь в колючках серый ёжик, (Сцепить ладони, пальцы поднять вверх – «ёжик»)

Чтобы волк не уволок, (Показывают волка, его повадки)

Превратится ёж в клубок. (Присесть, голову наклонить к коленкам, скрутится как будто в клубочек)

(Дети садятся на места.)

2. Игра «Елочки, грибочки»

-Ёжик пригласил нас на прогулку в лес. Что он там увидел?

Воспитатель выкладывает на доску пять ёлочек.

— Рассмотрите ёлочек. Сколько их? (Много.)

— А еще под ёлочками появились грибочки. Поставим каждого грибочка под елочкой.

— Всем ли грибочкам хватает ёлочек? (Да.)

— Сколько на доске грибочков? (Грибочков столько же, сколько и ёлочек.)

— Кого больше ёлочек или грибочков? (Поровну.)

— Один грибочка сорвали. (Воспитатель убирает один грибочек.) Кого меньше: грибочков или ёлочек? (Грибочков.)

— На сколько грибочков меньше? (На один.)

3. Игра «Улитки и лягушата».

У детей на столах альбомные листы с изображением трёх улиток и трёх лягушат.

— В речке жили весёлые лягушата, они дружили с улитками.

Давайте проверим, у каждой ли улитки есть друг лягушонок? Соедините линиями улитки с лягушатами. (Дети исполняют задание).

— Сколько улиток и сколько лягушат? (Поровну.)

4. Физкультминутка.

Рыбка плавает в речушке,

Рыбке весело гулять.

(Плавные движения кистями)

Рыбка, рыбка-шалунишка,

(погрозить пальчиком)

Хотим мы тебя поймать.

(хлопок «круглыми» ладошками)

Рыбка спинку изогнула,

(Выгнуть кисти, пальчики вниз)

Хлеба крошечку взяла

(имитировать движение пальчиками)

Рыбка хвостиком махнула,

(Сложить ладошки вместе, поворачивать их вправо, влево)

Рыбка быстро уплыла.

(спрятать ручки)

5. Игра «Сложи лягушонка»

У детей на столах наборы геометрических фигур зеленого цвета. Воспитатель выкладывает на доске лягушонка из геометрических фигур.

— Рассмотрите лягушонка. С каких геометрических фигур он сложен?

— Сложите такого же лягушонка из фигурок на вашем столе.

6. Итоги занятия.

— Кого мы увидели в лесу?

— У всех ли улиток были друзья лягушата?

— Кого было больше: улиток или лягушат?

— С каких геометрических фигур мы сложили лягушонка?

Игра – матрешки

Для этой игры нам понадобятся матрешки, желательно не менее пяти элементов, если нет матрешек, вырежьте из бумаги пять кружков один больше другого на один сантиметр в диаметре.

Попросите ребенка выложить кружки или поставить матрешек в ряд в порядке возрастания. Попросите ребенка объяснить, почему он поставил матрешек именно в этом порядке.

Затем в порядке убывания, опять же попросите обосновать свои действия. Затем уберите из ряда среднюю матрешку или кружок и попросите ребенка рассказать, чего не хватает в ряду. На сколько, по его наблюдениям убранный предмет должен быть больше или меньше предыдущего.

Если вы хотите получать анонсы наших статей, подпишитесь на рассылку “Новости сайта”.

Учим сравнивать предметы

Учить сравнивать предметы следует путем сопоставления их сначала по одному измерению (Эта дощечка короче), потом по двум, по трем (и уже, и еще тоньше). Сопоставляем не только по величинам, но и по другим свойствам предмета – цвет, материал. Это имеет большое значение для умственного развития малыша.

Затем усложняем, просим ребенка сопоставлять не только видимые предметы, но и воссоздавать их по представлению, например, нарисовать две полоски – одну длиннее другой. Продолжим упражнения и будем изменять размер предмета.

Попросите нарисовать прямоугольник несколько раз, изменяя длину и ширину, но при этом примерно сохраняя общую массу предмета. Таким образом, ребенок поймет, что сохранить общий объем предмета можно меняя длину и ширину.

Возьмем пластилин, мы можем из его куска скатать колбаску и тут же переделать её в шарик не меняя при этом массы, эту колбаску мы можем сделать толще и короче или тоньше и длиннее.

Эти занятия помогут в дальнейшем ребенку ориентироваться не только в математике и геометрии, но и в жизни вообще, находя материал для поделок по меркам, и вообще подыскивать предметы по образцу.

В продолжение развития полученных навыков дадим ребенку задание на составление предмета равного образцу из двух других. Таким образом, научим ребенка распределять предметы по определенным признакам, составлять ряды предметов по возрастанию или убыванию величин.

Также ребенка полезно научить до выполнения поставленной задачи планировать свои действия. Можно поставить для этого перед ребенком вопросы: по какому признаку можно сгруппировать предметы, как выбрать следующий по порядку предмет и так далее.

Сначала ребенок будет решать задачи, опираясь на наглядный материал, затем по словесному описанию.